Exercice 11, § 4

a) Soit G un groupe localement compact engendré par un voisinage compact de e. Soit φ un endomorphisme continu non surjectif de G adhérent au groupe $\mathscr{G}$ des automorphismes (bicontinu) de G pour la topologie de la convergence compacte. Alors $\lim_{\psi \in \mathscr{G}, \psi \to \varphi} \mod \psi = 0$. (Soit K un voisinage compact de e engendrant G. Soit μ une mesure de Haar à gauche de G. Si $\mu(\varphi(K)) > 0$, $\varphi(K).\varphi(K)^{-1}$ est un voisinage de e dans G, donc $\varphi(G)$ est un sous-groupe ouvert de G ; pour $\psi \in \mathscr{G}$ assez voisin de φ, on a $\psi(K) \subset \varphi(G)$, donc $\psi(G) \neq G$, ce qui est absurde. Donc $\mu(\varphi(K)) = 0$. Quand $\psi \in \mathscr{G}$ tend vers φ, $\mu(\psi(K))$ tend vers 0). b) Soit G un groupe abélien libre, somme directe $G_1 \oplus G_2 \oplus \ldots$, où chaque $G_i$ est isomorphe à $\mathbf{Z}$. On considère G comme discret. Soit φ l’endomorphisme non surjectif $(x_1, x_2, \ldots) \to (0, x_1, x_2, \ldots)$ de G. Alors φ est limite pour la topologie de la convergence compacte d’automorphismes de G, et tout automorphisme de G est de module 1.