Bài tập 11, § 4

(a) Cho $G$ là một nhóm địa phương compact sinh bởi một lân cận compact của $e$. Cho $\varphi$ là một tự đồng cấu liên tục không toàn ánh của $G$ thuộc bao đóng, đối với tôpô hội tụ compact, của nhóm $\mathscr{G}$ các tự đẳng cấu (song liên tục) của $G$. Khi đó $\lim_{\psi \in \mathscr{G}, \psi \to \varphi} \mod \psi = 0$. (Cho $K$ là một lân cận compact của $e$ sinh ra $G$. Cho $\mu$ là một độ đo Haar trái trên $G$. Nếu $\mu(\varphi(K)) > 0$, thì $\varphi(K) \cdot \varphi(K)^{-1}$ là một lân cận của $e$ trong $G$, do đó $\varphi(G)$ là một nhóm con mở của $G$; với $\psi \in \mathscr{G}$ đủ gần $\varphi$, ta có $\psi(K) \subset \varphi(G)$, do đó $\psi(G) \neq G$, điều này là vô lý. Vì vậy $\mu(\varphi(K)) = 0$. Khi $\psi \in \mathscr{G}$ tiến tới $\varphi$, $\mu(\psi(K))$ tiến tới 0.) b) Cho $G$ là một nhóm Abel tự do, một tổng trực tiếp $G_1 \oplus G_2 \oplus \cdots$, trong đó mỗi $G_i$ đẳng cấu với $\mathbf{Z}$. Xét $G$ như là rời rạc. Cho $\varphi$ là tự đồng cấu không toàn ánh $(x_1, x_2, \ldots) \mapsto (0, x_1, x_2, \ldots)$ của $G$. Khi đó $\varphi$ là giới hạn, đối với tôpô hội tụ compact, của các tự đẳng cấu của $G$, và mọi tự đẳng cấu của $G$ có môđun bằng 1.