Exercice 18, § 4

Les notations et conventions sont celles de l’exerc. 15.

a) Soit $\mu$ une mesure bornée sur $G$, dont le support contient au moins deux points distincts. Montrer qu’il existe un ensemble compact $K$, et un nombre $k$ tel que $0 < k < 1$, pour lesquels on a $\| \varphi_{sK} \cdot \mu \| \leq k \| \mu \|$ pour tout $s \in G$. (Si $t, t'$ sont deux points distincts du support de $\mu$, prendre pour $K$ un voisinage assez petit de $e$ pour que $sK$ ne puisse rencontrer à la fois $tK$ et $t'K$).

b) Soit $\mu$ une mesure bornée $\geq 0$ sur $G$, dont le support contient au moins deux points distincts. Montrer qu’il existe une fonction $f \in L^\infty(G, \beta)$, non équivalente à une fonction $\geq 0$, et telle que $\mu * f$ soit $\geq 0$ localement presque partout pour $\beta$. (Utiliser a), en prenant $f$ égale à $-1$ dans $K$ et à une constante positive convenable dans $C_K$.)

Si de plus le support de $\mu$ est compact, il existe une fonction $f$ ayant les propriétés précédentes et ayant un support compact.

c) Soient $\mu_1, \mu_2$ deux mesures bornées positives non nulles sur $G$, permutables pour la convolution, et telles que le support $K$ de $\mu_1$ soit compact et contienne $e$. On pose $\mu = \mu_1 + \mu_2$. Soient $V$ un voisinage compact symétrique de $e$ contenant $K$, $g$ la fonction égale à $\mu * \varphi_V$ dans $C_V$, à $0$ dans $V$; montrer que la fonction $\mu * (g - (\mu_1 * \varphi_V))$ est localement presque partout $\geq 0$ dans $C(V^2)$. D’autre part, montrer qu’il existe un ensemble compact $H$ tel que la fonction $\mu_2 * \varphi_H$ soit presque partout $\geq 0$ dans $V^2$.

d) Déduire de c) que si $\mu$ est une mesure positive bornée dans $G$ dont le support contient au moins deux points distincts, il existe une fonction $f$ appartenant à tous les $L^p(G, \beta)$ ($1 \leq p \leq +\infty$), non équivalente à une fonction $\geq 0$, et telle que $\mu * f$ soit $\geq 0$ localement presque partout, lorsqu’on fait en outre l’une des hypothèses suivantes : $\alpha)$ $G$ est commutatif ; $\beta)$ il y a un point $a \in G$ tel que $\mu(\{a\}) > 0$. (Décomposer convenablement $\mu$ en une somme de deux mesures $\geq 0$ permutables).