Bài tập 18, § 4

Các ký hiệu và quy ước là những ký hiệu và quy ước của Bài tập 15.

a) Cho $\mu$ là một độ đo bị chặn trên G, có giá đỡ chứa ít nhất hai điểm phân biệt. Chứng minh rằng tồn tại một tập compact K, và một số k sao cho $0 < k < 1$, với tính chất $\| \varphi_{sK} \cdot \mu \| \leq k \| \mu \|$ với mọi $s \in G$. (Nếu $t, t'$ là hai điểm phân biệt trong giá đỡ của $\mu$, lấy K là một lân cận của e đủ nhỏ sao cho sK không thể giao với cả tK và t'K.)

b) Cho $\mu$ là một độ đo bị chặn $\geq 0$ trên G, có giá đỡ chứa ít nhất hai điểm phân biệt. Chứng minh rằng tồn tại một hàm $f \in L^\infty(G, \beta)$, không tương đương với một hàm $\geq 0$, sao cho $\mu * f$ là $\geq 0$ hầu khắp địa phương đối với $\beta$. (Dùng a), lấy f bằng $-1$ trên K và bằng một hằng số dương thích hợp trên $\mathbf{C}K$.) Nếu thêm vào đó, giá đỡ của $\mu$ là compact, thì tồn tại một hàm f có các tính chất trước đó và có giá đỡ compact.

c) Cho $\mu_1, \mu_2$ là hai độ đo dương khác không, bị chặn trên G, hoán vị được đối với phép chập, sao cho giá đỡ K của $\mu_1$ là compact và chứa e. Đặt $\mu = \mu_1 + \mu_2$. Cho V là một lân cận compact đối xứng của e chứa K, g là hàm bằng $\mu * \varphi_V$ trên $\mathbf{C}V$, và bằng 0 trên V; chứng minh rằng hàm $\mu * (g - (\mu_1 * \varphi_V))$ là $\geq 0$ hầu khắp địa phương trong $\mathbf{C}(V^2)$. Mặt khác, chứng minh rằng tồn tại một tập compact H sao cho hàm $\mu_2 * \varphi_H$ là $\geq 0$ hầu khắp trong $V^2$.

d) Suy ra từ c) rằng nếu $\mu$ là một độ đo dương bị chặn trên $G$ có giá đỡ chứa ít nhất hai điểm phân biệt, thì tồn tại một hàm f thuộc mọi $L^p(G, \beta)$ ($1 \leq p \leq +\infty$), không tương đương với một hàm $\geq 0$, và sao cho $\mu * f$ là $\geq 0$ hầu khắp địa phương, khi ta thêm vào một trong các giả thiết sau: $\alpha)$ $G$ là Abel; $\beta)$ có một điểm $a \in G$ sao cho $\mu(\{a\}) > 0$. (Phân tích thích hợp $\mu$ thành một tổng của hai độ đo $\geq 0$ hoán vị được.)