Exercice 2, § 4

Soit $H$ le groupe additif $\mathbf{R}$ muni de la topologie discrète. Soit $G$ le groupe localement compact $\mathbf{R} \times \mathbf{R} \times H$. Soient $\alpha$ une mesure de Haar de $G$, $\beta$ une mesure de Haar de $\mathbf{R} \times H$, et $\mu = \varepsilon_0 \otimes \beta \in \mathscr{M}(G)$.

Construire une fonction $f \geqslant 0$ sur $G$, localement $\alpha$-négligéable (donc telle que $\mu$ et $f$ soient convolables) mais telle qu’aucune translatée de $f$ ne soit $\mu$-mesurable. (Imiter la construction du chap. V, § 3, exerc. 4).