Exercice 26, § 4

Soient $G$ un groupe localement compact, $\beta$ une mesure de Haar à gauche sur $G$. Pour qu'une partie $H$ de $L^p(G, \beta)$ ($1 \leq p \leq +\infty$) soit relativement compacte (pour la topologie de la convergence en moyenne d'ordre $p$), il faut et il suffit que les conditions suivantes soient satisfaites : 1° $H$ est borné dans $L^p(G, \beta)$; 2° pour tout $\varepsilon > 0$, il existe une partie compacte $K$ de $G$ que telle $\|f\varphi_{G-K}\|_p \leq \varepsilon$ pour toute fonction $f \in H$; 3° pour tout $\varepsilon > 0$, il existe un voisinage $V$ de $e$ dans $G$ tel que $\|\gamma(s)f - f\|_p \leq \varepsilon$ pour toute $f \in H$ et tout $s \in V$. (Pour prouver que les conditions sont suffisantes, observer que si $g \in \mathscr{K}(G)$, et si $L$ est une partie compacte de $G$, l'image par l'application $f \to g * f$ de l'ensemble des restrictions à $L$ des fonctions de $H$ est une partie équicontinue de $\mathscr{K}(G)$).