Bài tập 26, § 4

Cho $G$ là một nhóm compact địa phương, $\beta$ là một độ đo Haar trái trên $G$. Đối với một tập con $H$ của $L^p(G, \beta)$ ($1 \leq p < +\infty$) để là tương đối compact (đối với tôpô của sự hội tụ theo trung bình cấp $p$), điều kiện cần và đủ là các điều kiện sau đây được thỏa mãn: $1^\circ$ $H$ bị chặn trong $L^p(G, \beta)$; $2^\circ$ với mọi $\varepsilon > 0$, tồn tại một tập con compact $K$ của $G$ sao cho $\|f \varphi_{G-K}\|_p \leq \varepsilon$ với mọi hàm $f \in H$; $3^\circ$ với mọi $\varepsilon > 0$, tồn tại một lân cận $V$ của $e$ trong $G$ sao cho $\|\gamma(s)f - f\|_p \leq \varepsilon$ với mọi $f \in H$ và $s \in V$. (Để chứng minh rằng các điều kiện là đủ, hãy nhận xét rằng nếu $g \in \mathscr{K}(G)$ và nếu $L$ là một tập con compact của $G$, thì ảnh, qua ánh xạ $f \mapsto g * f$, của tập $\varphi_L \cdot H$, là một tập con liên tục đều của $\mathscr{K}(G)$.)