Exercice 9, § 4

Soient $G$ un groupe localement compact, $\beta$ une mesure de Haar à gauche sur G, A et B deux ensembles β-intégrables tels que β(A) ≤ β(B). Montrer qu’il existe 1) des ensembles disjoints N, K₁, K₂, ... recouvrant A, N étant β-négligeable et les Kₙ compacts ; 2) des ensembles disjoints N', K₁', K₂', ... recouvrant B, avec les Kₙ' compacts ; 3) des sₙ ∈ G tels que Kₙ' = sₙKₙ. (En utilisant le fait que β(xA ∩ B) dépend continûment de x et que $\int \beta(xA \cap B)d\beta(x) = \beta(A^{-1})\beta(B)$, montrer que, si $\beta(A) \neq 0$, il existe $x \in G$ tel que $\beta(xA \cap B) \neq 0$.