Bài tập 9, § 4

Cho G là một nhóm compact địa phương, $\beta$ là một độ đo Haar trái trên G, A và B là hai tập hợp $\beta$-tích phân được sao cho $\beta(A) \leq \beta(B)$ và $\beta^*(A^{-1}) < +\infty$. Chứng minh rằng tồn tại 1) các tập hợp rời nhau N, K_1, K_2, ... phủ A, với N $\beta$-không đáng kể và các K_n compact;

2) các tập hợp rời nhau $N' , K'_1 , K'_2 , \ldots$ phủ B, với các $K'_n$ compact; 3) các phần tử $s_n \in G$ sao cho $K'_n = s_n K_n$. (Dùng sự kiện rằng $\beta(xA \cap B)$ phụ thuộc liên tục vào $x$ và rằng

chứng minh rằng nếu $\beta(A) \neq 0$ thì tồn tại một $x \in G$ sao cho $\beta(xA \cap B) \neq 0 .$)