Exercice 1, § 5

Soient X un espace localement compact, $\mathfrak{F}$ (ou $\mathfrak{F}(X)$) l’ensemble des parties fermées de X. Pour toute partie compacte K de X, tout voisinage compact L de K et tout entourage V de l’unique structure uniforme de L, soit Q(K, L, V) l’ensemble des couples (A, B) d’éléments de $\mathfrak{F}$ satisfaisant aux deux conditions

a) Montrer que les ensembles Q(K, L, V) forment un système fondamental d’entourages pour une structure uniforme séparée sur $\mathfrak{F}$.

b) Soit $\mathscr{U}$ une structure uniforme compatible avec la topologie de X. Pour toute partie compacte K de X et tout entourage W de $\mathscr{U}$, soit P(K, W) l’ensemble des couples (A, B) d’éléments de $\mathfrak{F}$ satisfaisant aux deux conditions

Montrer que les ensembles P(K, W) forment un système fondamental d’entourages pour la structure uniforme définie dans a).

c) Soient X’ le compactifié d’Alexandroff de X, $\omega$ le point à l’infini de X’; pour toute partie fermée A de X, soit $A' = A \cup \{\omega\}$. Montrer que l’application $A \to A'$ est un isomorphisme de l’espace uniforme $\mathfrak{F}(X)$ défini dans a) sur le sous-espace de $\mathfrak{F}(X')$ formé des parties fermées contenant $\omega$ (utiliser b)). En déduire que $\mathfrak{F}(X)$ est compact (cf. Top. gén., chap. II, 3e éd., § 4, exerc. 15).