Bài tập 1, § 5

Cho $X$ là một không gian địa phương compact, $\mathfrak{F}$ (hoặc $\mathfrak{F}(X)$) là tập hợp các tập con đóng của $X$. Với mỗi tập con compact $K$ của $X$, mỗi lân cận compact $L$ của $K$, và mỗi lân cận $V$ của cấu trúc đều duy nhất của $L$, gọi $Q(K, L, V)$ là tập hợp các cặp $(A, B)$ của các phần tử của $\mathfrak{F}$ thỏa mãn hai điều kiện

a) Chứng minh rằng các tập hợp $Q(K, L, V)$ tạo thành một hệ cơ sở của các lân cận đối với một cấu trúc đều Hausdorff trên $\mathfrak{F}$.

b) Cho $\mathscr{U}$ là một cấu trúc đều tương thích với tôpô của $X$. Với mỗi tập con compact $K$ của $X$ và mỗi lân cận $W$ của $\mathscr{U}$, gọi $P(K, W)$ là tập hợp các cặp $(A, B)$ của $\mathfrak{F}$ thỏa mãn hai điều kiện

Chứng minh rằng các tập hợp $P(K, W)$ tạo thành một hệ cơ sở của các lân cận đối với cấu trúc đều được xác định trong a).

c) Cho $X'$ là compact hóa Alexandroff của $X$, $\omega$ là điểm ở vô cực của $X'$; với mỗi tập con đóng $A$ của $X$, đặt $A' = A \cup \{\omega\}$. Chứng minh rằng ánh xạ $A \mapsto A'$ là một đẳng cấu của không gian đều $\mathfrak{F}(X)$ được xác định trong a) lên không gian con của $\mathfrak{F}(X')$ tạo thành bởi các tập con đóng chứa $\omega$ (hãy sử dụng b)). Suy ra từ đó rằng $\mathfrak{F}(X)$ là compact (xem GT, II, §4, Bài tập 15).