Exercice 5, § 5

Soit G le groupe discret somme directe d’une suite infinie ($G_n$) de sous-groupes à deux éléments, et soit $p_n$ la projection de G sur $G_n$. Posons $H_n = p_n^{-1}(e)$, et soit $\alpha_n$ la mesure de Haar normalisée de $H_n$. Si $\mu$ est la mesure de Haar normalisée de G, montrer que dans $\Gamma_c^0$, la suite $(\alpha_n)$ converge vers $\mu$ mais que l’on a $\| \mu_{\alpha_n} \| = 2$ et $\| \mu_\mu \| = 1$.