Exercice 12, § 1

Soit g une algèbre de Lie.

a) Pour qu’une dérivation D de g permutte avec toutes les dérivations intérieures de g, il faut et il suffit que D applique g dans son centre.

b) On suppose désormais g de centre nul, de sorte que g s’identifie à un idéal de l’algèbre de Lie $\mathfrak{D}$ de toutes les dérivations de g. Montrer que le commutant de g dans $\mathfrak{D}$ est nul (utiliser a)). En particulier, le centre de $\mathfrak{D}$ est nul.

c) Montrer qu’une dérivation $\Delta$ de $\mathfrak{D}$ telle que $\Delta(g) = \{0\}$ est nulle. (On a $[\Delta(\mathfrak{D}), g] \subset \Delta([\mathfrak{D}, g]) + [\mathfrak{D}, \Delta(g)] \subset \Delta(g) = \{0\}$, donc $\Delta(\mathfrak{D}) = \{0\}$ d’après b)).

d) Montrer que, si en outre $g = \mathscr{O}g$, toute dérivation $\Delta$ de $\mathfrak{D}$ est intérieure (utiliser c) et l’exerc. 11).