Bài tập 12, § 1

Cho $g$ là một đại số Lie. (a) Để một đạo hàm $D$ của $g$ giao hoán với mọi đạo hàm nội của $g$, điều kiện cần và đủ là $D$ ánh xạ $g$ vào tâm của nó. (b) Từ đây về sau, giả sử rằng $g$ có tâm không, sao cho $g$ được đồng nhất với một iđêan của đại số Lie $\mathfrak{D}$ gồm tất cả các đạo hàm của $g$. Chứng minh rằng tâm hóa của $g$ trong $\mathfrak{D}$ là không (sử dụng (a)). Đặc biệt, tâm của $\mathfrak{D}$ là không. (c) Chứng minh rằng một đạo hàm $\Delta$ của $\mathfrak{D}$ sao cho $\Delta(g) = \{0\}$ là không. ($[ \Delta(\mathfrak{D}), g ] \subset \Delta([\mathfrak{D}, g]) + [\mathfrak{D}, \Delta(g)] \subset \Delta(g) = \{0\}$ và do đó $\Delta(\mathfrak{D}) = \{0\}$ theo (b).) (d) Chứng minh rằng, nếu thêm $g = \mathscr{D}g$, mọi đạo hàm $\Delta$ của $\mathfrak{D}$ đều là nội (sử dụng (c) và Bài tập 11).