Exercice 13, § 1

Soient g une algèbre de Lie, a et b deux sous-modules de g. On définit pour tout entier $i \geqslant 0$ les sous-modules $m_i = m_i(a, b)$ et $n_i = n_i(a, b)$ de la manière suivante : $m_1 = b$, $m_{i+1} = [m_i, b]$, $n_1 = a$, $n_{i+1} = [n_i, b]$. Montrer que $[a, m_i] \subset n_{i+1}$ pour $i = 1, 2, \ldots$ (raisonner par récurrence sur $i$, en observant que $m_i([a, b], b) = m_i(a, b)$ et $n_i([a, b], b) = n_{i+1}(a, b)$).