Exercice 14, § 1

Soient a une algèbre de Lie, b une sous-algèbre de a. On appelle suite de composition joignant a à b une suite décroissante $(\alpha_i)_{0 \leqslant i \leqslant n}$ de sous-algèbres de a telles que $\alpha_0 = a, \alpha_n = b, \alpha_{i+1}$ étant un idéal de $\alpha_i$ pour $0 \leqslant i < n$. On dit que b est une sous-algèbre sous-invariante de a s’il existe une suite de composition joignant a à b.

a) Soient b une sous-algèbre sous-invariante de a, $(\alpha_i)_{0 \leqslant i \leqslant n}$ une suite de composition joignant a à b. Déduire de l’exerc. 13 que $[\mathscr{C}^{n+p}b, a] \subset \mathscr{C}^p b$ en observant que $[\alpha_i, b] \subset \alpha_{i+1}$ pour $0 \leqslant i < n$.

b) Déduire de a) que l’intersection $\mathscr{C}^\infty b$ des $\mathscr{C}^p b$ ($p = 0, 1, 2, \ldots$) est un idéal de a.

c) Déduire de b) qu’une sous-algèbre sous-invariante c de a telle que $c = \mathscr{O}c$ est un idéal de a.

d) Lorsque K est un corps et que $\dim_K a < +\infty$, montrer que l’intersection $\mathscr{O}^\infty b$ des $\mathscr{O}^p b$ ($p = 0, 1, 2, \ldots$) est un idéal de a. (Montrer que cette intersection est une sous-algèbre sous-invariante de a, et appliquer c).)