Bài tập 14, § 1

Cho $a$ là một đại số Lie và $b$ là một đại số con của $a$. Một chuỗi hợp thành nối $a$ với $b$ là một dãy giảm $(a_i)_{0 \leqslant i \leqslant n}$ các đại số con của $a$ sao cho $a_0 = a, a_n = b, a_{i+1}$ là một iđêan của $a_i$ với $0 \leqslant i < n$. $b$ được gọi là một đại số con dưới bất biến của $a$ nếu tồn tại một chuỗi hợp thành nối $a$ với $b$. (a) Cho $b$ là một đại số con dưới bất biến của $a$ và $(a_i)_{0 \leqslant i \leqslant n}$ là một chuỗi hợp thành nối $a$ với $b$. Suy ra từ Bài tập 13 rằng $[\mathscr{C}^{n+p}b, a] \subset \mathscr{C}^p b$ bằng cách nhận thấy rằng $[a_i, b] \subset a_{i+1}$ với $1 \leqslant i < n$. (b) Suy ra từ (a) rằng giao $\mathscr{C}^\infty b$ của các $\mathscr{C}^p b$ ($p = 0, 1, 2, \ldots$) là một iđêan của $a$. (c) Suy ra từ (b) rằng một đại số con dưới bất biến $c$ của $a$ sao cho $c = \mathscr{D}c$ là một iđêan của $a$. (d) Khi $K$ là một trường và $\dim_K a < +\infty$, chứng minh rằng giao $\mathscr{D}^\infty b$ của các $\mathscr{D}^p b$ ($p = 0, 1, 2, \ldots$) là một iđêan của $a$. (Chứng minh rằng giao này là một đại số con dưới bất biến của $a$ và áp dụng (c).)