Exercice 15, § 1

a) Soient a une algèbre de Lie, b une sous-algèbre de a, c un idéal de b, z le commutant de c dans a. On a $[z, b] \subset z$. En déduire que $b + z$ est une sous-algèbre de a dans laquelle z est un idéal.

b) Soient g une algèbre de Lie, a une sous-algèbre sous-invariante de g, b un idéal de a. Si le commutant de b dans a et le commutant de a dans g sont nuls, le commutant z de b dans g est nul. (Soit $h = a + z$, qui est une sous-algèbre d’après a); a est sous-invariante dans h; si $z \neq \{0\}$, on a $a \neq h$, donc a est un idéal dans $a'$, avec $a \neq a' \subset h$; soit $a' \in a', a' \notin a$, et $a' = a + z, a \in a, z \in z, z \neq 0$; montrer que $[z, a]$ est contenu dans a et commute à b, d’où $[z, a] = \{0\}$ et contradiction.)

c) Soit g une algèbre de Lie de centre nul, $\mathfrak{D}_1$ l’algèbre de Lie des dérivations de g, $\mathfrak{D}_2$ l’algèbre de Lie des dérivations de $\mathfrak{D}_1, \ldots$. On identifie g à un idéal de $\mathfrak{D}_1, \mathfrak{D}_1$ à un idéal de $\mathfrak{D}_2, \ldots$ (cf. exerc. 12 b)). Utilisant b) et l’exerc. 12 b), montrer que le commutant de g dans $\mathfrak{D}_i$ est nul pour tout i. (Pour une suite de cet exerc., cf. § 4, exerc. 15.)