Bài tập 15, § 1

(a) Cho $a$ là một đại số Lie, $b$ là một đại số con của $a$, $c$ là một iđêan của $b$ và $z$ là đại số giao hoán tử của $c$ trong $a$. Khi đó $[z, b] \subset z$. Suy ra rằng $b + z$ là một đại số con của $a$ trong đó $z$ là một iđêan. (b) Cho $g$ là một đại số Lie, $a$ là một đại số con dưới bất biến của $g$ và $b$ là một iđêan của $a$. Nếu đại số giao hoán tử của $b$ trong $a$ và đại số giao hoán tử của $a$ trong $g$ là không, thì đại số giao hoán tử $\mathfrak{z}$ của $\mathfrak{b}$ trong $\mathfrak{g}$ là không. (Đặt $\mathfrak{h} = \mathfrak{a} + \mathfrak{z}$, đây là một đại số con theo (a); $\mathfrak{a}$ là dưới bất biến trong $\mathfrak{h}$; nếu $\mathfrak{z} \neq \{0\}$, thì $\mathfrak{a} \neq \mathfrak{b}$, do đó $\mathfrak{a}$ là một iđêan trong $\mathfrak{a}'$, với $\mathfrak{a} \neq \mathfrak{a}' \subset \mathfrak{h}$; lấy $a' \in \mathfrak{a}'$, $a' \notin \mathfrak{a}$ và $a' = a + z$, $a \in \mathfrak{a}$, $z \in \mathfrak{z}$, $z \neq 0$; chứng minh rằng $[z, a]$ được chứa trong $\mathfrak{a}$ và giao hoán với $\mathfrak{b}$, do đó $[z, a] = \{0\}$ cho một mâu thuẫn.)

(c) Cho $\mathfrak{g}$ là một đại số Lie có tâm không, $\mathfrak{D}_1$ là đại số Lie của các đạo hàm của $\mathfrak{g}$, $\mathfrak{D}_2$ là đại số Lie của các đạo hàm của $\mathfrak{D}_1$, ... $\mathfrak{g}$ được đồng nhất với một iđêan của $\mathfrak{D}_1, \mathfrak{D}_1$ với một iđêan của $\mathfrak{D}_2, \ldots$ (xem Bài tập 12 (b)). Dùng (b) và Bài tập 12 (b), chứng minh rằng đại số giao hoán tử của $\mathfrak{g}$ trong $\mathfrak{D}_i$ là không với mọi $i$. (Để xem phần tiếp theo của bài tập này, xem § 4, Bài tập 15.)