Exercice 16, § 1

Soient g une algèbre de Lie, $\mathfrak{D}$ l’algèbre de Lie des dérivations de g. L’application identique de $\mathscr{D}$ définit un produit semi-direct $\mathfrak{h}$ de $\mathscr{D}$ par $g$ appelé holomorphe de $g$. On identifie $g$ à un idéal et $\mathscr{D}$ à une sous-algèbre de $\mathfrak{h}$.

a) Montrer que le commutant $g^*$ de $g$ dans $\mathfrak{h}$ est l’ensemble des $\operatorname{ad}_g x - x \ (x \in g)$.

b) Pour tout élément $x + d$ de $\mathfrak{h}$ ($x \in g,\ d \in \mathscr{D}$), on pose $\theta(x + d) = \operatorname{ad}_g x - x + d$. Montrer que $\theta$ est un automorphisme d’ordre 2 de $\mathfrak{h}$ qui transforme $g$ en $g^*$, de sorte que $\mathfrak{h}$ peut être identifié à l’holomorphe de $g^*$.

c) Pour tout idéal $\mathfrak{k} \neq \{0\}$ de $\mathfrak{h}$, on a $\mathfrak{k} \cap (g + g^*) \neq \{0\}$. (Si $\mathfrak{k} \cap g = \{0\}$, on a $\mathfrak{k} \subset g^*$.)

d) Si $g$ est commutative, tout idéal $\mathfrak{k} \neq \{0\}$ de $\mathfrak{h}$ contient $g$. Si $K$ est un corps et que $\dim_K g < +\infty$, en déduire que, si $\mathfrak{k} \neq g$, $\mathfrak{h}$ ne peut être l’holomorphe de $\mathfrak{k}$ (utiliser b)).