Bài tập 16, § 1

Cho $\mathfrak{g}$ là một đại số Lie và $\mathfrak{D}$ là đại số Lie của các phép đạo hàm của $\mathfrak{g}$. Ánh xạ đồng nhất của $\mathfrak{D}$ xác định một tích nửa trực tiếp $\mathfrak{h}$ của $\mathfrak{D}$ bởi $\mathfrak{g}$ được gọi là holomorph của $\mathfrak{g}$. $\mathfrak{g}$ được đồng nhất với một iđêan và $\mathfrak{D}$ với một đại số con của $\mathfrak{h}$.

(a) Chứng minh rằng đối giao hoán tử $\mathfrak{g}^*$ của $\mathfrak{g}$ trong $\mathfrak{h}$ là tập hợp của $\operatorname{ad}_g x - x(x \in \mathfrak{g})$.

(b) Với mọi phần tử $x + d$ của $\mathfrak{h}$ ($x \in \mathfrak{g}$, $d \in \mathfrak{D}$), ta viết

Chứng minh rằng $\theta$ là một tự đẳng cấu của $\mathfrak{h}$ có cấp 2, biến $\mathfrak{g}$ lên $\mathfrak{g}^*$, sao cho $\mathfrak{h}$ có thể được xem như holomorph của $\mathfrak{g}^*$.

(c) Với mọi iđêan $\mathfrak{k} \neq \{0\}$ của $\mathfrak{h}$, $\mathfrak{k} \cap (\mathfrak{g} + \mathfrak{g}^*) \neq \{0\}$. (Nếu $\mathfrak{k} \cap \mathfrak{g} = \{0\}$, $\mathfrak{k} \subset \mathfrak{g}^*$.)

(d) Nếu $\mathfrak{g}$ giao hoán, mọi iđêan $\mathfrak{k} \neq \{0\}$ của $\mathfrak{h}$ chứa $\mathfrak{g}$. Nếu $K$ là một trường và $\dim_K \mathfrak{g} < +\infty$, suy ra rằng, nếu $\mathfrak{k} \neq \mathfrak{g}$, $\mathfrak{h}$ không thể là holomorph của $\mathfrak{k}$ (dùng (b)).