Exercice 18, § 1

Soient $\mathscr{H}$ un espace hilbertien complexe, $Y$ et $Z$ deux opérateurs hermitiens continus sur $\mathscr{H}$, et $B = [Z, Y]$. On suppose $Y$ et $B$ permutables.

a) Montrer que $[Z, Y^n] = n B Y^{n-1}$ (raisonner par récurrence sur $n$).

b) Soit $f$ une fonction continûment dérivable d’une variable réelle. Déduire de a) que $[Z, f(Y)] = B f'(Y)$.

c) Déduire de b) que $B = 0$. (Montrer que, si $B \neq 0$, $f$ peut être choisie de telle sorte que $\|f(Y)\| \leq 1$ et que $\|Bf'(Y)\|$ soit arbitrairement grand.)

d) Soit $g$ l’algèbre de Lie des opérateurs continus $T$ sur $\mathfrak{H}$ tels que $T^* = -T$. Déduire de c) que les conditions $Y \in g, Z \in g, [[Z, Y], Y] = 0$ entraînent $[Z, Y] = 0$.