Bài tập 18, § 1

Cho $\mathfrak{g}$ là một không gian Hilbert phức, $Y$ và $Z$ là các toán tử Hermit liên tục trên $\mathfrak{g}$ và $B = [Z, Y]$. Giả sử rằng $Y$ và $B$ hoán vị được.

(a) Chứng minh rằng $[Z, Y^n] = n B Y^{n-1}$ (lập luận bằng quy nạp theo $n$).

(b) Cho $f$ là một hàm khả vi liên tục của một biến thực. Suy ra từ (a) rằng $[Z, f(Y)] = B f'(Y)$.

(c) Suy ra từ (b) rằng $B = 0$. (Chỉ ra rằng, nếu $B \neq 0$, có thể chọn $f$ sao cho $\|f(Y)\| \leq 1$ và $\|B f'(Y)\|$ lớn tùy ý.)

(d) Cho $g$ là đại số Lie của các toán tử liên tục $T$ trên $\mathfrak{g}$ sao cho $T^* = -T$. Suy ra từ (c) rằng các điều kiện $Y \in g, Z \in g, [[Z, Y], Y] = 0$ kéo theo $[Z, Y] = 0$.