Exercice 21, § 1

a) Soient K un corps de caractéristique $p > 0$, L une algèbre non nécessairement associative sur K. Montrer que les dérivations de L forment une p-algèbre de Lie pour la p-application $D \mapsto D^p$.

b) Soient L l’algèbre $K[X]/(X^p)$, $w$ la p-algèbre des dérivations de L. On désigne par $D_i (0 \leq i \leq p-1)$ la dérivation de L telle que $D_i(X) = X^i$. Montrer que les $D_i$ forment une base de $w$ sur K et que l’on a $[D_i, D_j] = (j-i)D_{i+j-1}$ si $i + j \leq p$, $[D_i, D_j] = 0$ si $i + j > p$, et $D_1^p = 0$, sauf pour $i = 1$, auquel cas $D_1^p = D_1$.

c) Montrer que, si $p \geq 3$, l’algèbre de Lie w n’admet pour idéaux que $\{0\}$ et w. (En utilisant la table de multiplication des $D_i$, montrer que tout idéal non nul de w contient un multiple non nul de $D_{p-1}$).

d) Soit $V_k$ le sous-espace de w ayant pour base les $D_i$ d’indice $\geq k$. Montrer que, si $p \geq 5$, $V_k$ est identique à l’ensemble des $Z \in w$ dont le commutant est de dimension $\geq k+1$. En déduire que, si $p \geq 5$, le groupe des automorphismes de w est résoluble.