Bài tập 21, § 1

(a) Cho $K$ là một trường có đặc số $p > 0$ và $L$ là một đại số không nhất thiết kết hợp trên $K$. Chứng minh rằng các đạo hàm của $L$ tạo thành một đại số Lie $p$ với phép $p$-ánh xạ $D \mapsto D^p$.

(b) Cho $L$ là đại số $K[X]/(X^p)$ và $w$ là đại số $p$ của các đạo hàm của $L$. Gọi $D_i$ ($0 \leq i \leq p-1$) là đạo hàm của $L$ sao cho $D_i(X) = X^i$. Chứng minh rằng các $D_i$ tạo thành một cơ sở của $w$ trên $K$ và rằng $[D_i, D_j] = (j - i)D_{i+j-1}$ nếu $i + j \leq p$, $[D_i, D_j] = 0$ nếu $i + j > p$, và $D_i^p = 0$, ngoại trừ trường hợp $i = 1$, trong đó $D_1^p = D_1$.

(c) Chứng minh rằng, nếu $p \geq 3$, đại số Lie $w$ chỉ nhận các iđêan $\{0\}$ và $w$. (Dùng bảng phép nhân của các $D_i$, chứng minh rằng mọi iđêan khác không của $w$ chứa một bội khác không của $D_{p-1}$.)

(d) Cho $V_k$ là không gian con của $w$ có cơ sở là các $D_i$ có chỉ số $\geq k$. Chứng minh rằng, nếu $p \geqslant 5$, $V_k$ đồng nhất với tập hợp các $Z \in w$ mà bộ giao hoán của chúng có chiều $\geqslant k + 1$. Suy ra rằng, nếu $p \geqslant 5$, nhóm tự đẳng cấu của $w$ là giải được.