Exercice 22, § 1

Soit g une p-algèbre de Lie sur un anneau K de caractéristique p (p premier). On note $x \mapsto x^p$ la p-application. Pour toute partie E de g, on désigne par $E^p$ le sous-module de g engendré par les $x^p$, où $x \in E$. On dit qu’un idéal $\alpha \subset g$ est un p-idéal si $\alpha^p \subset \alpha$.

a) Pour qu’un idéal $\alpha \subset g$ soit un p-idéal, il faut et il suffit qu’il soit le noyau d’un p-homomorphisme (exerc. 20).

b) La somme de deux p-idéaux est un p-idéal. La somme d’un p-idéal et d’une p-sous-algèbre est une p-sous-algèbre.

c) Soit h une sous-algèbre de Lie de g. La plus petite p-sous-algèbre de Lie contenant h est $h + h^p + h^{p^2} + \cdots = \overline{h}$; si on pose $h_i = h + h^p + \cdots + h^{p^i}$, $h_i$ est un idéal dans $\overline{h}$, et $\overline{h}/h_i$ est commutative.

EXERCICES

Si $\mathfrak{h}$ est un idéal dans $g$, il est est de même des $\mathfrak{h}_i$ et de $\overline{\mathfrak{h}}$, et ce dernier est le plus petit $p$-idéal contenant $\mathfrak{h}$.

d) Le normalisateur et le commutant d’un sous-module quelconque de $g$ sont des $p$-sous-algèbres de $g$.