Bài tập 22, § 1

Cho $g$ là một nhóm Lie $p$ trên một vành $K$ có đặc số $p$ ($p$ nguyên tố). Cho $x \mapsto x^p$ là ánh xạ $p$. Với mọi tập con $E$ của $g$, ký hiệu $E^p$ là môđun con của $g$ sinh bởi các $x^p$, trong đó $x \in E$. Một iđêan $a \subset g$ được gọi là một $p$-iđêan nếu $a^p \subset a$.

(a) Để một iđêan $a \subset g$ là một $p$-iđêan, điều kiện cần và đủ là nó là hạt nhân của một $p$-đồng cấu (Bài tập 20).

(b) Tổng của hai $p$-iđêan là một $p$-iđêan. Tổng của một $p$-iđêan và một $p$-đại số con là một $p$-đại số con.

(c) Cho $h$ là một đại số con Lie của $g$. Đại số con Lie $p$ nhỏ nhất chứa $h$ là $h + h^p + h^{p^2} + \cdots = \overline{h}$; nếu ta viết $h_i = h + h^p + \cdots + h^{p^i}$, thì $h_i$ là một iđêan của $\overline{h}$ và $\overline{h}/h$ là giao hoán. Nếu $h$ là một iđêan của $g$, thì các $h_i$ và $\overline{h}$ cũng vậy, và cái sau là $p$-iđêan nhỏ nhất chứa $h$.

(d) Chuẩn hóa tử và tâm hóa tử của một môđun con tùy ý của $g$ là các $p$-đại số con của $g$.