Exercice 23, § 1

Soit $g$ une $p$-algèbre de Lie commutative de dimension finie sur un corps parfait $K$ de caractéristique $p > 0$.

a) Montrer que $g$ est, de façon unique, somme directe de deux $p$-sous-algèbres $\mathfrak{h}, \mathfrak{k}$ telles que dans $\mathfrak{h}$ la $p$-application soit bijective, et qu’elle soit nilpotente dans $\mathfrak{k}$ (considérer les itérées de la $p$-application dans $g$; cf. Alg., chap. VIII, § 2, no 2, lemme 2 et chap. VII, § 5, exerc. 20 a)). On dit que $\mathfrak{h}$ est le $p$-cœur de $g$.

b) On suppose $K$ algébriquement clos. Montrer qu’il existe une base $(e_i)$ de $\mathfrak{h}$ telle que $e_i^p = e_i$ pour tout $i$ (considérer une $p$-sous-algèbre de $\mathfrak{h}$ engendrée par un seul élément, et montrer qu’elle contient un $x$ tel que $x^p = x \neq 0$; raisonner ensuite par récurrence sur la dimension de $\mathfrak{h}$). En déduire que les $p$-sous-algèbres de $\mathfrak{h}$ sont en nombre fini, et sont en correspondance biunivoque avec les sous-espaces vectoriels de l’espace vectoriel sur le corps premier $\mathbf{F}_p$ engendré par les $e_i$.

c) Montrer qu’il existe une base $(f_{ij})$ de $\mathfrak{k}$ ($1 \leq i \leq k, 1 \leq j \leq s_i$ pour tout $i$) où la suite des $s_i$ est décroissante, et telle que $f_{ij}^p = 0$ pour $1 \leq j \leq s_1, f_{ij}^p = f_{i-1,j}$ pour $2 \leq i \leq k, 1 \leq j \leq s_i$ (méthode d’Alg., chap. VII, § 5, exerc. 20 b)).