Bài tập 23, § 1

Cho $g$ là một đại số Lie $p$ giao hoán hữu hạn chiều trên một trường hoàn hảo $K$ có đặc số $p > 0$.

(a) Chứng minh rằng $g$ là một cách duy nhất tổng trực tiếp của hai $p$-đại số con $h, t$ sao cho trên $h$ ánh xạ $p$ là song ánh và trên $t$ nó là lũy linh (xét các lần lặp của ánh xạ $p$ trên $g$; xem Đại số, Chương VIII, § 2, no. 2, Bổ đề 2 và Chương VII, § 5, Bài tập 20 (a)). $h$ được gọi là lõi $p$ của $g$.

(b) Giả sử rằng $K$ là đóng đại số. Chứng minh rằng tồn tại một cơ sở $(e_i)$ của $h$ sao cho $e_i^p = e_i$ với mọi $i$ (xét một $p$-đại số con của $h$ sinh bởi một phần tử duy nhất và chứng minh rằng nó chứa một $x$ nào đó sao cho $x^p = x \neq 0$; sau đó lập luận bằng quy nạp theo chiều của $h$). Suy ra rằng các $p$-đại số con của $h$ là hữu hạn về số lượng và có sự tương ứng một-một với các không gian vectơ con của không gian vectơ trên trường nguyên tố $\mathbf{F}_p$ được sinh bởi các $e_i$.

(c) Chứng minh rằng tồn tại một cơ sở $(f_{ij})$ của $t$ ($1 \leqslant i \leqslant k, 1 \leqslant j \leqslant s_i$ với mọi $i$) trong đó dãy của $s_i$ là giảm và sao cho $f_{1j}^p = 0$ với $1 \leqslant j \leqslant s_1, f_{1j}^p = f_{i-1,j}$ với $2 \leqslant i \leqslant k, 1 \leqslant j \leqslant s_i$ (phương pháp của Đại số, Chương VII, § 5, Bài tập 20 (b)).