Exercice 25, § 1

On appelle groupe linéaire formel à n variables sur le corps K, et on désigne par GL(n, K) (lorsqu’aucune confusion n’est possible) le groupe formel de dimension n^2 dont la loi de groupe est définie par

f_{ij}(u, v) = - δ_{ij} + Σ_{k=1}^{n} (δ_{ik} + U_{ik}) (δ_{kj} + V_{kj}) (δ_{ij} indice de Kronecker ; les 3n^2 indéterminées de la définition générale de l’exerc. 24 sont ici notées U_{ij}, V_{ij}, W_{ij} avec 2 indices variant de 1 à n). Montrer que, si D_{ij} = ∂/∂U_{ij}, les dérivations invariantes à gauche X_{ij} telles que X_{ij}^{(e)} = D_{ij}^{(e)} sont données par

X_{ij} = (1 + U_{ii})D_{ij} + Σ_{k ≠ i} U_{ki}D_{kj}.

L’algèbre de Lie de GL(n, K) s’identifie à gl(n, K) en identifiant X_{ij} à l’élément E_{ij} de la base canonique (utiliser la formule (3) de l’exercice 24). Si K est de caractéristique p > 0, on a X_{ii}^p = X_{ii} et X_{ij}^p = 0 pour i ≠ j.