Bài tập 25, § 1

Nhóm tuyến tính hình thức trong n biến trên trường K, ký hiệu bởi $\mathbf{GL}(n, K)$ (khi không thể có sự nhầm lẫn), là nhóm hình thức có chiều $n^2$

mà luật nhóm được xác định bởi $f_{ij}(u, v) = -\delta_{ij} + \sum_{k=1}^n (\delta_{ik} + U_{ik})(\delta_{kj} + V_{kj})$ ($\delta_{ij}$ là chỉ số Kronecker; các bất định $3n^2$ của định nghĩa tổng quát của Bài tập 24 ở đây được ký hiệu bởi $U_{ij}, V_{ij}, W_{ij}$ với 2 chỉ số biến thiên từ 1 đến n). Chứng minh rằng, nếu $D_{ij} = \partial / \partial U_{ij}$, các đạo hàm bất biến trái $X_{ij}$ sao cho $X_{ij}^{(e)} = D_{ij}^{(e)}$ được cho bởi

Đại số Lie của $\mathbf{GL}(n, K)$ được đồng nhất với $\mathfrak{gl}(n, K)$ bằng cách đồng nhất $X_{ij}$ với phần tử $E_{ij}$ của cơ sở chính tắc (dùng công thức (3) của Bài tập 24). Nếu K có đặc số $p > 0$, $X_{ii}^p = X_{ii}$ và $X_{ij}^p = 0$ với $i \neq j$.