Exercice 5, § 1

Soient V et W des espaces vectoriels de dimension $n$ et $n + 1$ sur un corps K. Montrer que $\mathrm{gl}(W)$ est isomorphe à une sous-algèbre de $\mathfrak{sl}(V)$. (On peut supposer que W est un hyperplan de V. Soit $e \in V, e \notin W$. Pour $x \in \mathrm{gl}(W)$, soit $y(x)$ l’élément de $\mathrm{gl}(V)$ qui prolonge $x$ et qui est tel que $y(e) = -\operatorname{Tr}(x)$. e. Montrer que l’application $x \mapsto y(x)$ est un isomorphisme de $\mathrm{gl}(W)$ sur une sous-algèbre de $\mathfrak{sl}(V)$.)