Bài tập 5, § 1

Cho V và W là các không gian vectơ có số chiều lần lượt là $n + 1$ và $n$ trên một trường K. Chứng minh rằng $\mathfrak{gl}(W)$ là đẳng cấu với một đại số con của $\mathfrak{sl}(V)$. (Có thể giả sử rằng W là một siêu phẳng của V. Lấy $e \in V, e \notin W$. Với $x \in \mathfrak{gl}(W)$, gọi $y(x)$ là phần tử của $\mathfrak{gl}(V)$ mở rộng x và thỏa mãn $y(e) = -\operatorname{Tr}(x) \cdot e$. Chứng minh rằng ánh xạ $x \mapsto y(x)$ là một đẳng cấu của $\mathfrak{gl}(W)$ lên một đại số con của $\mathfrak{sl}(V)$.