Exercice 10, § 2

Soient $g$ une algèbre de Lie de dimension finie sur un corps, $U$ son algèbre enveloppante, $U_n$ l’ensemble des éléments de $U$ de filtration $\leq n$.

a) Soient $x \in U_n,\ y \in U_n$ deux éléments non nuls. Montrer qu’il existe $u \in U,\ v \in U$ tels que $ux = vy$. (Comparer $\dim(U_p x) = \dim U_p$, $\dim(U_p y) = \dim U_p$, et $\dim U_{p+n}$. En déduire que $U_p x \cap U_p y \neq \{0\}$ pour $p$ assez grand.)

b) Montrer que $U$ admet un corps des quotients à gauche ($Alg.$, chap. I, 2e éd., § 9, exerc. 8) qui est en même temps corps des quotients à droite.