Exercice 3, § 2

On suppose que K est un corps. Soient g une K-algèbre de Lie, U son algèbre enveloppante. La représentation régulière gauche de U correspond à une représentation $\rho$ de g dans l’espace U. Montrer que l’ensemble $U_+$ des éléments de U sans terme constant est stable pour $\rho$, et que $U_+$ n’a pas de supplémentaire dans U stable pour $\rho$. En particulier, $\rho$ n’est pas semi-simple. (On rapprochera ceci du th. 2 du § 6.)