Exercice 10, § 3

On suppose que $K$ est un corps. Soient $g$ une K-algèbre de Lie, $M_1, M_2$ deux $g$-modules simples non isomorphes de dimension finie sur $K$. Si $K_1$ est une extension séparable de $K$, montrer qu’il n’existe pas de $g_{(K_1)}$-module simple isomorphe à la fois à un sous-$g_{(K_1)}$-module de $M_{1(K_1)}$ et à un sous-$g_{(K_1)}$-module de $M_{2(K_1)}$. (Utiliser la prop. 4 et remarquer que l’existence d’un élément invariant $\neq 0$ dans $M_{1(K_1)}^* \otimes_{K_1} M_{2(K_1)}$ entraîne l’existence d’un élément invariant $\neq 0$ dans $M_1^* \otimes_K M_2$ (Alg., chap. II, § 5, no 3, th. 1)).