Exercice 3, § 3

Soit $V$ un espace vectoriel de dimension finie sur un corps parfait $K$.

a) La représentation identique de $gl(V)$ définit canoniquement des représentations de $gl(V)$ dans $\bigotimes^p V$ et $\bigotimes^q V^*$, donc une représentation $u \to u_q^p$ de $gl(V)$ dans $V_q^p = (\bigotimes^p V) \otimes (\bigotimes^q V^*)$. Montrer que $u_q^p$ est semi-simple si $u$ l’est. (Se ramener, par extension du corps de base, au cas où $K$ est algébriquement clos.) Montrer que $u_q^p$ est nilpotent si $u$ l’est. En déduire que, si $s$ et $n$ sont les composantes semi-simple et nilpotente de $u$, $s_q^p$ et $n_q^p$ sont les composantes semi-simple et nilpotente de $u_q^p$.

b) Déduire de a) que, si un élément de $V_q^p$ est annulé par $u_q^p$, il est annulé par $s_q^p$ et $n_q^p$.

c) Déduire de b) et de l’exerc. 2 que, si $V$ est muni d’une structure d’algèbre non nécessairement associative, et si $u$ est une dérivation de $V$, alors $s$ et $n$ sont des dérivations de $V$.