Bài tập 3, § 3

Cho V là một không gian vectơ hữu hạn chiều trên một trường hoàn hảo K. (a) Biểu diễn đồng nhất của $gl(V)$ xác định một cách chính tắc các biểu diễn của $gl(V)$ trên $\bigotimes^p V$ và $\bigotimes^q V^*$ và do đó một biểu diễn $u \mapsto u_q^p$ của $gl(V)$ trên

Chứng minh rằng $u_q^p$ là nửa đơn nếu u là nửa đơn. (Rút gọn nó, bằng cách mở rộng trường cơ sở, về trường hợp K là đóng đại số.) Chứng minh rằng $u_q^p$ là lũy linh nếu u là lũy linh. Suy ra rằng, nếu s và n là các thành phần nửa đơn và lũy linh của u, thì $s_q^p$ và $n_q^p$ là các thành phần nửa đơn và lũy linh của $u_q^p$.

(b) Suy ra từ (a) rằng, nếu một phần tử của $V_q^p$ bị triệt tiêu bởi $u_q^p$, thì nó bị triệt tiêu bởi $s_q^p$ và $n_q^p$.

(c) Suy ra từ (b) và Bài tập 2 rằng, nếu V có một cấu trúc đại số không nhất thiết kết hợp và u là một đạo hàm của V, thì s và n là các đạo hàm của V.