Exercice 4, § 3

On suppose que $K$ est un corps. Soit $g$ une $K$-algèbre de Lie.

a) Soient $M$ et $N$ des $g$-modules, $N$ étant de dimension finie sur $K$. Soit $(f_j)_{1 \leq j \leq n}$ une base de $N$ sur $K$. Si des éléments non tous nuls $e_1, \ldots, e_n$ de $M$ sont tels que $\sum_{i=1}^n e_i \otimes f_i$ soit invariant dans $M \otimes N$, alors le sous-espace $M_1$ de $M$ engendré par les $e_i$ est stable pour les $x_M$; si en outre $N$ est simple la représentation de $g$ dans $M_1$ est duale de la représentation de $g$ dans $N$.

b) Soient $M_1, M_2, N, N^*$ des $g$-modules de dimension finie sur $K$. On suppose que $M_1$ et $M_2$ sont simples et que les représentations de $g$ dans $N$ et $N^*$ sont duales. Pour que le $g$-module $M_1$ soit isomorphe à un sous-$g$-module de $M_2 \otimes N$, il faut et il suffit que $M_2$ soit isomorphe à un sous-g-module de $M_1 \otimes N^*$. (Utiliser la prop. 4 ; considérer la représentation de g dans $M_1^* \otimes M_2 \otimes N$, et appliquer a) à la représentation duale de cette dernière.)