Bài tập 4, § 3

Giả sử K là một trường. Cho g là một đại số Lie trên K.

(a) Cho M và N là các g-môđun, trong đó N là hữu hạn chiều trên K. Cho (f_j)_{1 \leq j \leq n} là một cơ sở của N trên K. Nếu có các phần tử e_1, \ldots, e_n của M, không phải tất cả đều không, sao cho $\sum_{i=1}^n e_i \otimes f_i$ là bất biến trong M \otimes N, thì không gian con M_1 của M sinh bởi các e_i là ổn định dưới x_M; nếu thêm nữa N là đơn thì biểu diễn của g trên M_1 là đối ngẫu với biểu diễn của g trên N.

(b) Cho M_1, M_2, N, N* là các g-môđun có số chiều hữu hạn trên K. Giả sử rằng M_1 và M_2 là đơn và các biểu diễn của g trên N và N* là đối ngẫu. Để g-môđun M_1 đẳng cấu với một g-môđun con của M_2 \otimes N, điều kiện cần và đủ là M_2 đẳng cấu với một g-môđun con của M_1 \otimes N*. (Sử dụng Mệnh đề 4; xét biểu diễn của g trên M_1^* \otimes M_2 \otimes N và áp dụng (a) cho biểu diễn đối ngẫu của biểu diễn sau.)