Exercice 5, § 3

On suppose que K est un corps de caractéristique 0. Soient V un K-espace vectoriel de dimension finie, $g = \mathfrak{sl}(V)$, U l’algèbre enveloppante de g, $U_n$ l’ensemble des éléments de filtration $\leq n$ dans U, $U^n$ l’ensemble des images dans U des tenseurs symétriques homogènes d’ordre $n$ sur $g$, $(\alpha_1, \ldots, \alpha_m)$ une base de l’espace vectoriel g. Soit $W_s = \bigotimes^s V$. La représentation identique de g définit une représentation de g dans $W_s$ qui se prolonge en un homomorphisme $\pi_s$ de U dans l’algèbre $M_s = \mathscr{L}(W_s)$.

a) Soit $M'_s$ le sous-espace de $M_s$ engendré par les éléments de la forme $\beta_1 \otimes \beta_2 \otimes \cdots \otimes \beta_s$, où $\beta_i \in \mathscr{L}(V)$ et où $\beta_i = 1$ pour au moins un i. Soient z un élément de $U_s$, $z_0 = \sum_{1 \leq i_1, \ldots, i_s \leq m} a_{i_1 \ldots i_s} \alpha_{i_1} \ldots \alpha_{i_s}$ sa composante dans $U^s$, où les $a_{i_1 \ldots i_s}$ sont symétriques par rapport aux permutations des indices. Montrer que

b) Déduire de a) que, pour tout $z \in U$, il existe une représentation de dimension finie $\pi$ de U telle que $\pi(z) \neq 0$. (Pour une suite de cet exerc., cf. § 7, exerc. 3.)