Bài tập 5, § 3

Giả sử rằng K là một trường có đặc số 0. Cho V là một không gian vectơ K hữu hạn chiều, g = sl(V), U là đại số bao quanh của g, U_n là tập hợp các phần tử của phép lọc $\leq n$ trong U, U^n là tập hợp các ảnh trong U của các tenxơ đối xứng thuần nhất cấp n trên g và $(\alpha_1, \ldots, \alpha_m)$ là một cơ sở của không gian vectơ g. Đặt W_s = \bigotimes^s V. Biểu diễn đồng nhất của g xác định một biểu diễn của g trên W_s, biểu diễn này mở rộng thành một đồng cấu $\pi_s$ của U vào đại số M_s = \mathscr{L}(W_s).

(a) Cho M'_s là không gian con của M_s sinh bởi các phần tử có dạng $\beta_1 \otimes \beta_2 \otimes \cdots \otimes \beta_s$, trong đó $\beta_i \in \mathscr{L}(V)$ và $\beta_i = 1$ với ít nhất một i. Cho z là một phần tử của U_s và $z_0 = \sum_{1 \leq i_1, \ldots, i_s \leq m} a_{i_1 \ldots i_s} \alpha_{i_1} \otimes \cdots \otimes \alpha_{i_s}$ là thành phần của nó trong U^s, trong đó các $a_{i_1 \ldots i_s}$ là đối xứng đối với phép hoán vị các chỉ số. Chứng minh rằng

(b) Suy ra từ (a) rằng với mọi $z \in U$ tồn tại một biểu diễn hữu hạn chiều $\pi$ của U sao cho $\pi(z) \neq 0$. (Để xem phần tiếp theo của bài tập này, xem § 7, Bài tập 3.)