Exercice 6, § 4

Soient g une algèbre de Lie nilpotente, a un idéal commutatif de g. Les conditions suivantes sont équivalentes : a) a est un idéal commutatif maximal de g ; b) a est une sous-algèbre commutative maximale de g ; c) a est égal à son commutant $a'$ dans g. (Les implications non a) $\Rightarrow$ non b) $\Rightarrow$ non c) sont claires. Si $a' \neq a$, il existe, d’après la prop. 1, un idéal $a''$ de g tel que $a \subset a'' \subset a'$, dim $a''/a = 1$. Alors, $a'' = a + Kx$, donc $[a'', a''] \subset [a, a] + [x, a] = \{0\}$, donc a) est en défaut.)