Exercice 11, § 5

Soient $g$ une algèbre de Lie, $\rho$ une représentation de dimension finie de $g$, $E$ l’algèbre associative d’endomorphismes engendrée par 1 et $\rho(g)$. Montrer que le plus grand idéal de nilpotence $n$ de $\rho$ est égal à l’ensemble $n'$ des $x \in g$ tels que $\mathrm{Tr}\,(\rho(x)u) = 0$ pour tout $u \in E$. Pour montrer que $n' \subset n$, montrer que $n'$ est un idéal et que, pour tout $x \in n'$, la composante semi-simple de $\rho(x)$ est nulle, en notant que $\mathrm{Tr}\,((\rho(x))^n) = 0$ pour tout entier $n > 0$.