Bài tập 11, § 5

Cho $g$ là một đại số Lie, $\rho$ là một biểu diễn hữu hạn chiều của $g$ và $E$ là đại số tự đồng cấu kết hợp sinh bởi $1$ và $\rho(g)$. Hãy chứng minh rằng iđêan lũy linh lớn nhất $n$ của $\rho$ bằng tập hợp $n'$ gồm các $x \in g$ sao cho $\mathrm{Tr}(\rho(x)u) = 0$ với mọi $u \in E$. (Để chứng minh rằng $n' \subset n$, hãy chứng minh rằng $n'$ là một iđêan và rằng với mọi $x \in n'$ thành phần nửa đơn của $\rho(x)$ bằng không, bằng cách nhận xét rằng $\mathrm{Tr}((\rho(x))^n) = 0$ với mọi số nguyên $n > 0$.)