Exercice 12, § 5

On suppose $K$ algébriquement clos. Soit $g$ une $K$-algèbre de Lie nilpotente. Soit $\rho$ une représentation de dimension finie de $g$ dans un espace vectoriel $V$. Pour toute forme linéaire $\lambda$ sur $g$, soit $V^\lambda$ le sous-espace vectoriel de $V$ formé des $\xi \in V$ tels que, pour tout $x \in g$, $(\rho(x) - \lambda(x)I)^n\xi = 0$ pour $n$ assez grand.

a) Les $V^\lambda$ sont stables pour $\rho(g)$ et la somme des $V^\lambda$ est directe. (Utiliser l’exerc. 22 du § 4.)

b) On a $V = \sum V^\lambda$. (Si chaque $\rho(x)$ a une seule valeur propre, $V = V^{\lambda_0}$ d’après le cor. 2 du th. 1. Si $\rho(x_0)$ a au moins deux valeurs propres distinctes, $V$ est somme directe de deux sous-espaces non triviaux stables pour $\rho(g)$. Raisonner alors par récurrence sur la dimension de $V$).