Bài tập 12, § 5

Giả sử rằng $K$ là đóng đại số. Cho $g$ là một đại số Lie $K$ lũy linh. Cho $\rho$ là một biểu diễn hữu hạn chiều của $g$ trên một không gian vectơ $V$. Với mọi dạng tuyến tính $\lambda$ trên $g$, gọi $V^\lambda$ là không gian con vectơ của $V$ gồm các $\xi \in V$ sao cho, với mọi $x \in g$, $(\rho(x) - \lambda(x)I)^n \xi = 0$ với $n$ đủ lớn.

(a) Các $V^\lambda$ ổn định đối với $\rho(g)$ và tổng của các $V^\lambda$ là trực tiếp. (Sử dụng Bài tập 22 của § 4.)

(b) Ta có $V = \sum V^\lambda$. (Nếu mỗi $\rho(x)$ chỉ có một trị riêng, thì $V = V^{\lambda_0}$ theo Hệ quả 2 của Định lý 1. Nếu $\rho(x_0)$ có ít nhất hai trị riêng phân biệt, thì $V$ là tổng trực tiếp của hai không gian con không tầm thường ổn định đối với $\varphi(g)$. Khi đó lập luận bằng quy nạp theo chiều của V.)