Exercice 13, § 5

Soient $g$ une algèbre de Lie, $\mathscr{D}$ l’algèbre de Lie des dérivations de $g$. Pour que $g$ soit caractéristiquement nilpotente, il faut et il suffit que $\mathscr{D}$ soit nilpotente et que $\dim\,g > 1$. (Pour voir que la condition est suffisante, écrire $g$ comme somme de sous-espaces $g^\lambda$, en appliquant l’exerc. 12 à la représentation identique de $\mathscr{D}$. Montrer que $[g^\lambda, g^\mu] \subset g^{\lambda + \mu}$, et que chaque $g^\lambda$ est un idéal de $g$. En déduire que $g^\lambda$ est commutatif pour $\lambda \neq 0$. Utilisant à nouveau le fait que $\mathscr{D}$ est nilpotente, montrer que $g = g^0$ si $\dim\,g > 1$. Dans le cas contraire, on aurait $g = g^0 \times h$, où $h$ est commutative. Montrer d’abord que $\dim\,h \leqslant 1$. Si on avait $\dim\,h = 1$, remarquer qu’il existerait une dérivation $D$ de $g$ telle que $D(g^0) = \{0\}$ et que $D(h)$ soit contenu dans le centre de $g^0$ (§ 4, exerc. 8 a)).)