Bài tập 13, § 5

Cho $g$ là một đại số Lie và $\mathfrak{D}$ là đại số Lie của các đạo hàm của $g$. Để $g$ là lũy linh đặc trưng, điều kiện cần và đủ là $\mathfrak{D}$ là lũy linh và $\dim g > 1$. (Để thấy rằng điều kiện là đủ, viết $g$ thành một tổng của các không gian con $g^\lambda$, áp dụng Bài tập 12 cho ánh xạ đồng nhất của $\mathfrak{D}$. Chứng minh rằng $[g^\lambda, g^\mu] \subset g^{\lambda+\mu}$ và mỗi $g^\lambda$ là một iđêan của $g$. Suy ra rằng $g^\lambda$ là giao hoán với $\lambda \neq 0$. Lại sử dụng sự kiện rằng $\mathfrak{D}$ là lũy linh, chứng minh rằng $g = g^0$ nếu $\dim g > 1$. Nếu không thì $g = g^0 \times h$, trong đó $h$ là giao hoán. Trước hết chứng minh rằng $\dim h \leq 1$. Nếu $\dim h = 1$, chú ý rằng khi đó tồn tại một đạo hàm D của $g$ sao cho $D(g^0) = \{0\}$ và $D(h)$ được chứa trong tâm của $g^0$ (§ 4, Bài tập 8 (a)).)