Exercice 14, § 5

Soient $V$ un espace vectoriel de dimension finie sur $K$, $z$ un endomorphisme de $V$. On adopte la notation $z_q^p$ de l’exerc. 3 du § 3. On dit qu’un endomorphisme $z'$ de $V$ est une réplique de $z$ si, quels que soient $p$ et $q$, tout zéro de $z_q^p$ est un zéro de $z_{q'}^p$. Montrer que, si $\mathrm{Tr}\,(zz') = 0$ pour toute réplique $z'$ de $z$, alors $z$ est nilpotent. (Utiliser la démonstration du lemme 3. Avec les notations de cette démonstration, on prouvera notamment que $t$ est une réplique de $z$.)